Nato a Plovdiv, in Bulgaria, si trasferisce quasi subito con la famiglia a Milano. La sua è una famiglia di ascendenza ebraica sefardita, ma di fatto impiantata da molti anni in ambiente di cultura yiddish e mitteleuropea. Questa circostanza influenzerà profondamente tutta la sua opera di uomo e di artista, dedito costantemente al recupero e alla rielaborazione del patrimonio artistico, letterario, religioso e musicale degli ebrei dell'Europa orientale.
Ovadia si laurea in Scienze Politiche all'Università Statale di Milano. Contemporaneamente al suo percorso accademico muove i primi passi artistici sotto la guida di Roberto Leydi, con cui inizia la sua carriera di cantante e musicista nel gruppo Almanacco Popolare
Nel 1972 fonda il Gruppo Folk Internazionale, che propone soprattutto il repertorio delle regioni balcaniche. Nel 1978 il gruppo si trasforma in Ensemble Havadià, nome che riprende la versione originale di quello della sua famiglia, "Havadià", appunto, trasformatosi con gli anni in "Ovadia". È con questo gruppo che Ovadia inizia a comporre musiche in proprio, sulla scorta del repertorio etnico già conosciuto e fatto proprio.
L'esordio teatrale è del 1984. Nel 1987, per il Festival di cultura ebraica del Teatro Pier Lombardo di Milano (ora Teatro Franco Parenti), è protagonista dello spettacolo Dalla sabbia dal tempo scritto e diretto da Mara Cantoni, che mette in evidenza le sue capacità di attore-cantante. Nel 1990 fonda la TheaterOrchestra e lavora con il CRT Artificio di Milano, con cui produce Golem, che condurrà in tournée a Bari, Milano, Roma, Berlino, Parigi e New York.
La grande svolta è lo spettacolo Oylem Goylem ("Il mondo è scemo", in lingua yiddish), con cui si impone all'attenzione del grande pubblico. Lo spettacolo fonde abilmente musica klezmer, che Ovadia canta con voce profonda e appassionata, a riflessioni condotte alla luce della cultura e del witz, il tradizionale umorismo ebraico, a più leggere storielle e barzellette. Lo spettacolo verrà ripreso dalle reti Rai e, nel 2005, pubblicato in cofanetto e dvd da Einaudi, a dimostrazione di un successo duraturo nel tempo.
Nel 1994 inizia a lavorare con Roberto Andò, con l'opera multimediale Frammenti sull'Apocalisse, presentato poi al Festival Roma Europa nel luglio 1995. Intanto all'inizio del 1995 allestisce con Mara Cantoni Dybbuk, uno spettacolo sull'Olocausto, che diventa uno egli eventi più importanti della stagione teatrale. Nello stesso anno debutta Taibele e il suo demone, con Pamela Villoresi. Sempre nel 1995 nasce Diario ironico dall'esilio scritto con Andò e prodotto per il Teatro Biondo Stabile di Palermo.
Nel febbraio 1996, sempre collaborando con Mara Cantoni e il Piccolo Teatro di Milano, è in scena con Ballata di fine millennio, che porta in tournée in tutta Italia. Nello stesso anno si presenta al Festival di Gibellina con lo spettacolo Pallida madre, tenera sorella, per la regia di Piero Maccarinelli. Per il Teatro Biondo torna a lavorare nel 1997, ancora una volta con Andò, che dirigerà il loro Il caso Kafka.
Nell'ottobre 1998 è in scena uno spettacolo prodotto in esclusiva per il Teatro Stabile di Trieste ed intitolato Trieste... ebrei e dintorni. Il mese successivo è in sala il suo lavoro successivo per il Piccolo Teatro di Milano: Mame, mamele, mamma, mamà..., che lui scrive dirige ed interpreta con la TheaterOrchestra.
Nel dicembre 1999 è la volta di Joss Rakover si rivolge a Dio, seguito l'anno dopo da Tevjie und mir. Da questo spettacolo nel 2002 Ovadia trae ed interpreta la versione italiana di Il violinista sul tetto.
Nel 2001 debutta uno spettacolo sul denaro, chiamato Il Banchiere errante. Infine nel 2003 ha prodotto il lavoro L'armata a cavallo.
Nel 2005 collabora coi Modena City Ramblers nel loro album dedicato ai 60 anni della liberazione dell'Italia dall'occupazione nazifascista, Appunti partigiani, prestando la propria voce per la canzone Oltre il ponte.
Dal 2003 al 2008, per sei edizioni (due mandati) è stato direttore artistico di Mittelfest di Cividale del Friuli.
Nella stagione teatrale 2008/2009 è in tournee con lo spettacolo La bella utopia, sulla storia del comunismo in Unione Sovietica.
Oltre a spettacoli teatrali Ovadia ha nel proprio curriculum anche partecipazioni a film e programmi televisivi. È stato fra i protagonisti con Bruno Ganz del Diario senza date di Andò, che ha partecipato poi alla Mostra del Cinema di Venezia. In seguito ha prestato il volto ad altri lungometraggi, come Caro diario di Nanni Moretti e Facciamo Paradiso di Mario Monicelli.
Ha condotto nel 1994 anche il programma radio Note spettinate, andato in onda su Radio2, di cui è stato con Mara Cantoni anche autore.